今日の1問、出典は2020年一橋大学数学大問3、分野は数II ベクトル、数Ⅰ 二次関数になります。テーマは多変数関数の処理と一般性になります。普段授業では予選決勝法は扱われにくく、入試頻出で、演習時期になるまでは学ぶ機会も少ないため、取り上げてみました。
問題 難易度A 時間15分
指針
3点全てが動き回ると考えれば大変です。内積は所詮3点の位置関係のみに依存するのですから、1点を固定しても一般性を失いません。この際座標平面上に固定すれば処理が容易くなります。1点を(1,0)に固定し、残り2点を角度θ、φを用いて媒介変数表示し、2変数の問題へと帰着させましょう。独立変数(それぞれの文字が、互いに干渉することなく様々な値をとる変数であることです)の多変数の問題の処理の定石は1文字固定です(予選決勝法とも呼ばれます)。
解答
媒介変数表示は慣れないと辛いところがあります。この問題に限らず、〇^2+△^2=r^2みたいな関係が成り立つ時にも角度θを用いた媒介変数表示は威力を発揮します。ぜひ使いこなせるようにしてください。
この問題は最終的には2次関数の最大、最小を求める問題に帰着します。1年の時の基礎固めをきちんと行っていれば、内積の概念を取り入れられた瞬間に解ける問題なのですから、まだ習っていない人も、ベクトルを履修した後にでもまたやってみてください。
