数学夏祭り 問題5

曲線に囲まれた面積と長方形の面積の差を評価する問題。東大2007とか京大特色2018とかに類題があったような気がする。最初思いつかなかったのでめちゃくちゃ悔しい。やっぱり知識が足りなすぎるので定義や背景などをしっかり押さえておかないとなーと猛省。

追記

1枚目の最後‪α‬-a_nじゃなくてa_n-‪α‬の間違いです

数学夏祭り 問題4

恐らく参加者の中で最も頭の悪い解法。何も思い浮かばなかったので全部数えて表作った。1時間くらいで終わった。実際条件満たすような個数の分布に法則性が全く見えない結果になったのでどうなんだ、という所。強いて言うなら斜めに丸ついた素数が移動してるようにも見えなくもないっぽいところに攻略の鍵がありそう。

きれい(小並感)

数学夏祭り 問題3

また79かよと思いながら解いた。バーゼル問題とかで使われる手法で、ド・モアブルの公式から実部だけ注目するとT_n(x)は得られる。あとは適当にn=79とでも置いてθを適切に定め、cos(2k-1)πを移項すると方程式が得られて、cosθはそいつの解だから～みたいな。完全にバーゼル問題と同じ流れ。

チェビシェフの多項式っていう背景があるらしいですね。知らなかったですがこんな感じに解けます。

数学夏祭り 問題2

幾何の問題。自分は幾何(も)全然できない人間なので速攻座標でおいた。具体的な数値ならともかく文字で外分とか内分とか出てきたら考えたくないので脳死で置いてる。多分計算ミスあるから当てにならない。Bを原点に置けば二等辺三角形が2つできるからいい感じに行けるかなぁと思ったけどそんな条件使わなかった。もっと綺麗に解けそうだし猛省する。

追記

やっぱり間違ってました、くやしいね

数学夏祭り 問題1

整数の簡単な問題。分母は約分する前で少なくとも79の倍数にならなきゃいけないってことを考え、その後1次の和が2次の積で割り切れるみたいな状況になるので、そんな整数はそれほど多くない。あとは適当に調べておしまい。解答はこちら

追記

m+nがmnで割り切れるのミスですね、日本語が全部逆になってますけど解答には影響しないです、ごめんちゃい

大数 学コン ネタバレあり

大数の学力コンテストの応募期間が終わったのでネタバレ有りで感想や解いた解法を軽く書いていきたいなと思います。

見たくない人はブラウザバック推奨

ここからネタバレ

大問１

(1)

数列の話です。index１個進めて元の式と差を取れば簡単に2項間の話になって、であとはその漸化式を使ってa_2まで巻き戻すだけ。漸化式通りにやっちゃうとa_1の分母が0になっちゃうのでそこだけ特別扱い。

(2)

これは計算するだけなので特になし。(1)間違わなきゃ誰でも取れる。

大問２

正方形内に2つの円を入れたときの存在領域の話。円が2つあるが、どちらも半径が同じなので、対称性から片方の円の動く範囲に注目すれば十分。正方形のもつ対称性から、真ん中で4つに部屋分けした1つだけ見れば良くて、さらに円の半径の大きさからその4つの部屋の1つをさらに真ん中で4等分したときの、一番内側の部分にしか円の中心は入れなくて、もう一つの円がギリギリ入ってる（角に追いやられてる）ときの中心の動きがわかれば、あとはその外部は全部動けるのでこれでおしまい。ちょうど30°の扇型とかが現れて計算は容易。

大問3

両辺ガウス記号付きで不等式が成り立つのなら、両辺ガウスなしの不等式も成り立つので、まずはガウスなしで解いてみる。きれいな整数値を端点として不等式が解けた、多分ガウスつけるとこの範囲いくらか広がるんやろなーと思いながら考える。端点の１個隣の整数の値を代入するとガウスなしの場合の両辺の差が1より大きくなるから、それより外ではもう成り立たない。あとは残った内部の時調べればおっけー。[x]の値を定数になるように場合分けしておしまい。今思ったけどこれ普通にガウスなしの両辺の差が１以上を解けば場合分け減ったかもしれん。

大問４

(1)

定点が4個与えられているので、直線2本は自ずと決まる。y^2の係数見て決めて、おしまい。

(2)

与えられた座標代入すると最終的に2つの文字が残る。こいつらはもはや消去もできないので、楕円の成立条件を考えて、この残った2つの文字の符号が同じになるためのx,yの条件を導いておしまい。

大問5

3辺の長さが1、三角形、面積ときているのだから、△ABCの3辺をa,b,cと置いてヘロンの公式を用いた。角の二等分線の性質使って、面積比が求まるので、言われた通りに差をとる。三角形成立条件のもと、その差の最大値を求めればいい、とわかる。ここで、三角形成立条件の不等式は扱いにくいので、Ravi変換を用いて扱いやすい形に変更。a=x+y,b=y+z,c=z+x　と置くと三角形の成立条件の面倒な関係式がx>0,y>0,z>0っていう簡単な形になり、さらにx+y+z=1/2っていう関係もあるので、実質2文字の多変数関数。固定して微分、固定解除して微分で終わり。初等解で求められたら強そうだけどむりぽ

大問6

(1)

l番目より前と後で分ければただの重複許して取る場合の数の掛け算。

(2)

(1)のやつで、m=m-2k+2i,k=iってすれば、これはl番目がi、l+1番目が2k-iになるときの場合の数に等しいので、シグマとると題意の等式は成り立つ。おしまい。

追記 

一応画像乗っけときます

書きミスとかちょこちょこ手直しする前に撮った写真なので、色々議論不足のとことか、(5)とかは√√3って書くところを√3って書くってゆうミスしてますけど、投函した解答は手直し済みなので、まぁ答えは全部合っててよかった。

全体的にそこまで難しくはなかったと思う。個人的に一番楽しかったのが5、とはいえRavi変換はちょっとずるいので正攻法が知りたいところ。

といったところで今回はここまで、さよなら〜

今日の1問 part.17

今日の1問はTwitterで告知した通り、京大実戦からの問題です。告知の方は文言が不足してたのでごめんなさい。勝つ確率はどの勝負においても1/2です。分野は数B 確率漸化式です。

問題 難易度B 時間20分

指針

確率の問題なので、内訳を考え、全部足すか、漸化式を立てるかの2つの解き方で悩むところです。自分は、仮にk回戦でAとBが対戦したとして考えると、A、Bどちらについても考えなきゃいけないんじゃないか…となって手が詰まってしまったので漸化式の方で解くことを決めました。ここまでの辿り着き方は人それぞれでもいいと思います。高校の時の先生は内訳考えて解答作ってたので得意な人はどっちでもいいです。

漸化式ですが、初手で分けるか最後で分けるかの2択です。今回は初手分けを行うと、残り人数が2^(n+1)人→2^n人となり、漸化式を作れそうなのでこちらで考えます。1回戦でBと対戦してしまうと状況が異なってくる事になるので、しっかり場合分けすることを忘れずに。

解答