贖罪 part5 出典は2020年東北大後期理系数学大問5 分野は数Ⅲ 複素数平面
今日の1問で初めて数Ⅲをメインにした問題を取り上げます。新高校2年生には申し訳ない、自習してください。複素数は苦手意識を持つ人が多いですし、自分もその1人です。というのも今までの知識が総動員されるからなんですね、数1での計算力、数Bでの数列的解釈、ベクトル的解釈、帰納法や数Aの整数、数IIの解の存在条件や軌跡、領域、数Ⅲの式と曲線、時には微積分まで絡められるといった高校数学の大物といったイメージですし、更にこれに複素数特有の計算や考え方も混ざってきてもう凄いです(語彙力)。僕の尊敬する先生の1人のT先生は、高校数学は複素数平面のためにあるとも仰っていました。これを昔文系が解いていたと聞いて驚きを隠せませんでした笑。代わりに少し解けるようになったときの、問題を解けた喜びは代え難いものがあります。この問題は割と簡単なほうなので、複素数の楽しさへの入門となればいいなぁと思っています。
問題 難易度 B 時間 20分
指針
(1)
網羅系参考書にはどこも載っているとは思います。(他は知りませんがFGには載っています)直線lがαと原点を結ぶ垂直二等分線になっているので、それぞれから点zまでの距離が等しいということで絶対値についての方程式を立てられます。
(2)
(1)同様にm上の複素数の満たす条件式を求めることができます。この点をwとしましょうか。lとmが交点をもつことはつまり、w=zを満たすような複素数が存在するということです。この事を考えれるかがこの問題を切り崩すポイントになります。
解答
