贖罪part6、やっとラストです。出典は2020東北大後期理系数学大問6、分野は数Ⅲ 積分漸化式です。積分漸化式は方針はそんなに無くて、大抵は部分積分すれば漸化式が勝手に出てくるんですが、これもそういう問題の1つです。どれだけ演習を積んだかがそのまま結果に結びつく問題だと思っています。
問題 難易度 B、時間 20分
指針
(1)
有名題です。結果だけは覚えてる人も多いと思います。導出は逆関数の微分法で迷うことなくできる問題です。
(2)
部分積分を使うのですが、このままではできません。(1)の誘導がなくとも、被積分関数の形を見てx=tanθ の置換は思い浮かぶと思います(というか思い浮かばなければ完全に演習不足)。すると被積分関数がcosのみの式で表せるので部分積分ができる形になります。有名な形なのでこのタイプの部分積分は常に頭に入れておくといいと思います。
(3)
(2)が出来ていればただの代入計算と化します。求めるのはI_3なので、I_1から1つずつ漸化式を使ってindex(添字のことです)を上げていきましょう。(2)が出来なかったとしても、半角公式などを使って次数を下げ続ければ解けます。諦めずに取り組みましょう。
解答
