昨日東京大学の合格発表がありました。自分は理科一類に出願していたのですが、残念ながら合格することは出来ませんでした。心境や点数開示、今までの勉強生活の振り返りなどはまた別の機会に書こうと思います。思うところは多々ありますが、実力不足をひしひしと感じています。応援してくださっていた方々には申し訳ない気持ちでいっぱいですが、今は切り替えて後期に向けて頑張ろうと思っています。
さて、今日の出典は2014年東北大学後期大問2 分野は数II 空間ベクトル、テーマは存在条件です。
この問題は様々な文字が入り乱れてしまうので、処理に細心の注意が必要です。文字消去をする、という操作は、その文字の存在を保証するものだ、という認識はもっているでしょうか。消去された文字の存在を保証するには、元の形に戻した時に、その文字がきちんと存在できる範囲になければいけません。何を言っているのか分かりにくいと思いますが、例えばsinθ=xという置換を施したとしましょう。このとき、xは無闇矢鱈の値をとることはできません。なぜなら、x=2という値を仮にとってしまうと考えた時に、それに対応できるθが実数範囲では存在できず、(複素数を入れると存在できますが、高校範囲を逸脱するのでそのような問題は受験で扱われません)sinとxによる変換の対応が成り立たなくなってしまうからです。長々と書きましたが要するに範囲はしっかり意識しないと、存在条件になり得ないので、気をつけなければいけません。
問題 難易度B+ 時間 30分
指針
空間の話になるので、ベクトルを用いるのが無難でしょう。三角形の内部及び周上に共有点を持つ、という条件の処理は、三角形をなす2つのベクトルの係数がどちらも非負で、係数の和が1以下だという条件で処理できます。つまり、内部及び周上の点について、↑OA+k↑AB+l↑AC と表したとき、k、lが非負で和が0≦k+l≦1 となるk、lが存在するいうことです。線分PQ上という条件は、ベクトル方程式を立てて、↑OP+t↑PQで表される直線PQ上の点について、0≦t≦1であるtが存在すれば、線分PQ上にあると言えます。これら2通りで指定される位置ベクトルが等しいのですから、xyz各成分についての方程式が得られ、これらを考えることによって存在条件を考えます。落ち着いてひとつずつ文字を消去していきましょう。
解答
